Trong giai đoạn tập trung ôn toán 12 phục vụ kỳ thi THPT QG này, rất nhiều em học sinh gặp phải tình trạng bỏ sót kiến thức do quá trình tổng hợp không kỹ càng. Đặc biệt, những chương đầu tiên làm nền tảng của chương trình toán lớp 12 lại càng dễ bị thiếu sót kiến thức. Cùng VUIHOC tổng hợp lại toàn bộ kiến thức chương 1 và 2 toán 12 nhé!
TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 12 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 4: Đường tiệm cận
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài ôn tập chương I
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài 1: Lũy thừa
Bài 2: Hàm số lũy thừa
Bài 3: Lôgarit
Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Bài ôn tập chương II
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Bài 1 : Nguyên hàm
Bài 2 : Tích phân
Bài 3 : Ứng dụng của tích phân trong hình học
Ôn tập chương 3 giải tích 12
Chương 4: Số phức
Bài 1 : Số phức
Bài 2 : Cộng, trừ và nhân số phức
Bài 3 : Phép chia số phức
Bài 4 : Phương trình bậc hai với hệ số thực
Ôn tập chương 4 giải tích 12
Ôn tập cuối năm giải tích 12
TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 12 - HÌNH HỌC
Chương 1: Khối đa diện
Bài 1: Khái niệm về khối đa diện
Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Ôn tập chương I
Câu hỏi trắc nghiệm chương I
Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Bài 1 : Khái niệm về mặt tròn xoay
Bài 2 : Mặt cầu
Ôn tập chương 2 Hình học 12
Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian
Bài 2 : Phương trình mặt phẳng
Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian
Ôn tập chương 3 Hình học 12
Câu hỏi trắc nghiệm chương 3 Hình học 12
Ôn tập cuối năm Hình học 12
DẠNG BÀI TẬP TOÁN 12 - CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: Hàm số đồng biến nghịch biến - ứng dụng đạo hàm
1. Xét dấu biểu thức P(x) bằng cách lập bảng
-
Bước 1: Biểu thức P(x) có nghiệm nào? Tìm giá trị x khiến biểu thức P(x) không xác định.
-
Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
-
Bước 3: Tìm dấu của P(x) trên từng khoảng bằng cách dùng máy tính.
2. Trên tập xác định, xét tính đơn điệu hàm số
Trong chương trình toán lớp 12, đồng biến nghịch biến của hàm số (hay còn gọi là tính đơn điệu của hàm số) là phần kiến thức rất quen thuộc đối với các bạn học sinh. Các em đã biết hàm số y=f(x) là đồng biến nếu giá trị của x tăng thì giá trị của f(x) hay y tăng; nghịch biến trong trường hợp ngược lại.
-
Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K $Leftrightarrow forall x_{1},x_{2} in K x_{1}<x_{2}$ thì $f(x_{1})<f(x_{2})$.
-
Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K $Leftrightarrow forall x_{1},x_{2} in K x_{1}>x_{2}$ thì $f(x_{1})>f(x_{2})$.
Hàm số đơn điệu khi thỏa mãn điều kiện đủ sau:
Hàm số f, đạo hàm trên K:
-
Nếu f’(x)>0 với mọi $xin$ K thì f đồng biến trên K.
-
Nếu f’(x)<0 với mọi $xin K$ thì f nghịch biến trên K.
-
Nếu f’(x)=0 với mọi $xin K$ thì f là hàm hằng trên K.
Quy tắc xét đồng biến nghịch biến của hàm số toán lớp 12:
-
Bước 1: Tìm tập xác định D.
-
Bước 2: Tính đạo hàm y’=f’(x).
-
Bước 3: Tìm nghiệm của f’(x) hoặc những giá trị x làm cho f’(x) không xác định.
-
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
-
Bước 5: Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước
Cho hàm số y=f(x;m) có tập xác định D, khoảng $(a,b)subset D$:
-
Hàm số nghịch biến trên $(a;b)Leftrightarrow y'leq 0,forall xin (a;b)$.
-
Hàm số đồng biến trên $(a;b)Leftrightarrow y'geq 0,forall xin (a;b)$.
Lưu ý: Riêng hàm số $frac{a_{1}x+b_{1}}{cx+d}$ thì:
-
Hàm số nghịch biến trên $(a;b)Leftrightarrow y'< 0,forall xin (a;b)$.
-
Hàm số đồng biến trên $(a;b)Leftrightarrow y'> 0,forall xin (a;b)$.
>> Xem thêm: Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác và bài tập
Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dự lộ trình ôn thi sớm ngay từ bây giờ
Bài 2: Cực trị của hàm số
1. Định nghĩa cực trị hàm số
Trong chương trình học, cực trị của hàm số được định nghĩa là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Theo hình học, cực trị hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ điểm này sang điểm kia.
Giả sử hàm số f xác định trên K $(Ksubset R)$ và $x^{0}in K$
Điểm cực đại của hàm số f là $x^{0}$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)subset K$ có $x^{0}$ thỏa mãn $f(x)>f(x_{0})$,$forall x ,epsilon , (a;b)setminus x_{0}$
Khi đó, giá trị cực tiểu của hàm số f chính là $f(x_{0})$
2. Phương pháp giải các bài toán cực trị hàm số bậc 3
$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d(aneq 0)$
Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c$
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow b^{2} - 3ac>0$.
3. Giải nhanh bài toán 12 cực trị hàm trùng phương
Cho hàm số $y=4ax^{3}+2bx;y'=0Leftrightarrow x=0;x=frac{-b}{2a}$
C có 3 điểm cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow frac{-b}{2a}>0$. Ta có 3 điểm cực trị như sau:
A(0;c), B$(-sqrt{-frac{b}{2a}-frac{Delta }{4a}})$, C$(-sqrt{frac{b}{2a}-frac{Delta }{4a}})$
Với $Delta =b^{2}-4ac$
Độ dài các đoạn thẳng:
AB=AC=$sqrt{frac{b^{4}}{16a^{2}}-frac{b}{2a}},BC=2sqrt{-frac{b}{2a}}$
>> Xem thêm: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số logarit
Bài 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên D
-
Số M là giá trị lớn nhất trên D nếu:
-
Giá trị nhỏ nhất là số m trên D nếu:
2. Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng bảng biến thiên
-
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
-
Bước 2: Tìm các nghiệm của f’(x) và các điểm f’(x) trên K
-
Bước 3: Xét biến thiên của f(x) trên K bằng bảng biến thiên
-
Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận minf(x), max f(x)
3. Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không sử dụng bảng biến thiên
Đối với tập K là đoạn [a;b]
-
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
-
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm $x_{i}in [a;b]$ của phương trình f’(x)=0 và tất cả các điểm $alpha in [a;b]$ làm cho f’(x) không xác định
-
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi), f(ai)
-
Bước 4: So sánh và kết luận các giá trị tìm được
M=minf(x), m=maxf(x)
Đối với tập K là khoảng (a;b)
-
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
-
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm $x_{i}in [a;b]$ của phương trình f'(x)=0 và tất cả các nghiệm $alpha in [a;b]$ làm cho f’(x) không xác định
-
Bước 3: Tính A=$lim_{xrightarrow a^{+}}lim_{xrightarrow a^{+}}f(x)$, B=$lim_{xrightarrow b^{-}}f(x),f(x_{i}),f(a_{i})$
-
Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận M=minf(x), m=maxf(x)
>> Xem thêm: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số: Lý thuyết và bài tập
Bài 4: Đường tiệm cận
Đồ thị hàm số y=f(x) có tập xác định là D:
- Đường tiệm cận ngang: Nếu $lim_{xrightarrow +infty }f(x)=y_{0}$ hoặc $lim_{xrightarrow -infty }f(x)=y_{0}$ thì đường thẳng y=$y_{0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số C
- Đường tiệm cận đứng: Nếu $lim_{xrightarrow x_{0}^{+}}f(x)=pm infty$ hoặc $lim_{xrightarrow x_{0}^{-}}f(x)=pm infty$ thì đường thẳng x=$x^{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C
- Đường tiệm cận xiên:
Điều kiện để tìm đường tiệm cận xiên của C:
$lim_{xrightarrow +infty }f(x)=pm infty$ hoặc $lim_{xrightarrow -infty }f(x)=pm infty$
Có 2 phương pháp tìm tiệm cận xiên như sau:
-
Cách 1: Phân tích biểu thức y=f(x) thành dạng $y=f(x)=a(x)+b+varepsilon (x)=0$ thì $y=a(x)+b(aneq 0)$ là đường tiệm cận xiên của C y=f(x)
-
Cách 2: Tìm a và b bằng công thức sau:
$a=lim_{xrightarrow +infty }frac{f(x)}{x}$
$b=lim_{xrightarrow +infty }[f(x)]-ax]$
Khi đó y=ax+b là phương trình đường tiệm cận xiên của C:y=f(x).
>> Xem thêm: Toán 12 đường tiệm cận: Lý thuyết kèm bài tập trắc nghiệm
Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong chương trình Toán 12 ngay
Kiến thức Toán 12 - Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1. Các bước thực hiện
-
Bước 1. Tìm tập xác định
-
Bước 2. Tính y' = f'(x)
-
Bước 3. Tìm tập nghiệm của phương trình
-
Bước 4. Tính giới hạn $lim_{xrightarrow +infty }y$ và $lim_{xrightarrow -infty }y$ tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)
-
Bước 5. Lập bảng biến thiên
-
Bước 6. Kết luận chiều biến thiên, nếu có cực trị thì kết luận thêm phần cực trị
-
Bước 7. Tìm các điểm giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng,... của đồ thị
-
Bước 8. Vẽ đồ thị.
2. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3
y=$ax^{3}+bx^{2}+cx+d (aneq 0)$
Chú ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac<0
3. Các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương
y=$ax^{4}+bx^{2}+c (aneq 0)$
4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến
$y=frac{ax+b}{cx+d}(ab-bcneq 0)$
DẠNG BÀI TẬP TOÁN 12 - CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Kiến thức Toán 12 - Bài 1: Lũy thừa
1. Khái niệm lũy thừa toán lớp 12
1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương
-
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a
-
Với: $aneq 0$
-
$a^{0}=1$
-
$a^{-n}=frac{1}{a^{n}}$
-
Trong biểu thức $a^{m}$, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.
Lưu ý:
-
$0^{0}$ và $0^{n}$ không có nghĩa
-
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương
1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a là số thực dương và số hữu tỉ $r=frac{m}{n}$ trong đó $min Z$, $nin N$, $ngeq 2$. Lũy thừa với số mũ r là số $a^{r}$ xác định bởi: $a^{r}=a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^{m}}$
1.3. Lũy thừa với số mũ thực
Cho a là một số dương, $alpha$ là một số vô tỉ. Ta gọi giới hạn của dãy số $(a^{r_{n}})$ là lũy thừa của a với số mũ $alpha$, ký hiệu là $a^{alpha }$.
>> Xem thêm:
- Lý thuyết và bài tập lũy thừa cùng cơ số
- Lũy thừa của lũy thừa là gì? Định nghĩa và công thức chuẩn
2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa toán 12
Với số thực a>0 ta có các tính chất của lũy thừa như sau:
>> Xem thêm: Tổng hợp đầy đủ công thức lũy thừa lớp 12 cần nhớ
Kiến thức Toán 12 - Bài 2: Hàm số lũy thừa
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa có dạng $y=x^{a}$ trong đó a là một hằng số tùy ý.
-
Hàm số $y=x^{n}$ với n nguyên dương, xác định với mọi $xin R$
-
hàm số $y=x^{n}$ với n nguyên âm hoặc n=0, xác định với mọi $xin$ $R{0}$
-
Hàm số $y=x^{a}$ với a không nguyên, có tập xác định của hàm số lũy thừa là tập hợp các số thực dương $(0;+infty )$
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
-
Hàm số lũy thừa $y=x^{a} (alpha in R)$ có đạo hàm tại mọi điểm x>0 và $(x^{alpha })'=alpha .x^{alpha -1}$
-
Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số $y=u^{alpha }(x)$ cũng có đạo hàm trên J và $(u^{alpha }(x))'=alpha .u^{alpha -1}(x).u'(x)$
3. Khảo sát hàm số lũy thừa y=xa
Tổng quát, hàm số $y=x^{a}$ trên khoảng $(0;+infty )$ được khảo sát theo bảng sau:
Lưu ý, khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta cần xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
Khi đó, hình dạng đồ thị hàm số lũy thừa như sau:
>> Xem thêm: Bí kíp nắm vững điều kiện của hàm số lũy thừa
Kiến thức Toán 12 - Bài 3: Logarit
1. Khái niệm logarit
Xét 2 số thực a và b dương, $aneq 1$. Số $alpha$ thỏa mãn $a^{alpha }=b$ được gọi là logarit cơ số a của b, ký hiệu là $log^{a}b=alpha $.
Như vậy:
2. Các tính chất của logarit
1.1. Các quy tắc tính logarit
Xét số thực a với điều kiện $0<aneq 1$, ta có các tính chất sau:
Với b>0: $a^{log_{a}b=b}$
-
Logarit của một tích: Với $x_{1},x_{2}>0:log_{a}(x_{1},x_{2})=log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}$
-
Logarit của một thương:
-
Với $x_{1},x_{2}>0:log_{a}frac{x_{1}}{x_{2}}=log_{a}x_{1}-log_{a}x_{2}$
-
Với x>0: $lpg_{a}frac{1}{x}=-log_{a}x$
-
- Logarit của một lũy thừa:
- Với b>0: $log_{a}b^{x}=xlog_{a}b$
- Với mọi x: $log_{a}a^{x}=x$
1.2. Công thức đổi cơ số
Cho số thực a thỏa mãn $0<aneq 1$ ta có các tính chất sau:
1.3. So sánh hai logarit cùng cơ số
Nếu a>1 thì $log_{a}x=log_{a}yLeftrightarrow x>y>0$
3. Logarit cơ số thập phân và logarit cơ số tự nhiên
Ngoài logarit thường, toán lớp 12 còn phân thêm 2 dạng logarit đặc biệt:
-
Logarit cơ số thập phân là logarit cơ số 10 của số x>0, ký hiệu là lgx.
-
Logarit tự nhiên là logarit cơ số e của số a>0, ký hiệu là lna.
Kiến thức Toán 12 - Bài 4: Ôn tập hàm số mũ và logarit
1. Hàm số mũ
1.1. Định nghĩa hàm số mũ
Cho số thực dương a khác 1. Ta xét hàm số mũ cơ số a $y=a^{x}$
Tính chất hàm số mũ:
-
Tập xác định: R
-
Tập giá trị: $(0;+infty )$
-
Với a>1 hàm số $y=a^{x}$ đồng biến trên R và ngược lại đối với a<1
-
Đồ thị hàm số mũ nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
1.2. Đạo hàm của hàm số mũ
-
Hàm số $y=e^{x}$ có đạo hàm với mọi x và $(e^{x})'=ex$
-
Hàm số $y=a^{x}(a>0,aneq 1)$ có đạo hàm tại mọi x và $(a^{x})'=a^{x}lna$
2. Hàm số logarit
2.1. Định nghĩa hàm số logarit
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số $y=loga^{x}$ được gọi là hàm logarit cơ số a.
Tính chất hàm số logarit:
-
Tập xác định: $(0;+alpha )$
-
Tập giá trị: R
-
Với a>1: $y=log_{a}x$ là hàm số đồng biến trên $(0;+infty )$
2.2. Đạo hàm của hàm số logarit
>> Xem thêm:
- Trọn bộ lý thuyết hàm số mũ và logarit siêu chi tiết
- Đầy đủ lý thuyết, bài tập đồ thị hàm số mũ và logarit
- Tổng ôn tập hàm số mũ và logarit siêu chi tiết
Kiến thức Toán 12 - Bài 5: Phương trình phương trình mũ và phương trình logarit
1. Các phương pháp giải phương trình mũ
Có 3 cách giải phương trình mũ, cụ thể:
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
Với $0<aneq 1$ là số x sao cho $a^{x}=b$
Ngược lại, $a^{x}=bLeftrightarrow x=log_{a}b$
Dạng 2: Phương pháp logarit hóa
$0<aneq 1$ là số x sao cho $a^{x}=b$
Ngược lại, $a^{x}=bLeftrightarrow x=log_{a}b$
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
Trường hợp 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới:
Trường hợp 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó ta xem ẩn đầu là tham số, đưa về phương trình tích và đưa về hệ phương trình.
Trường hợp 3: Đặt nhiều ẩn, khi đó ta đưa về phương trình tích rồi đưa về hệ phương trình.
>> Xem thêm:
- Phương pháp giải phương trình mũ khó siêu nhanh
- Bứt phá mọi bài tập phương trình mũ nâng cao
2. Các phương pháp giải phương trình logarit
Phương pháp giải phương trình logarit tương tự đối với phương pháp giải phương trình mũ. Các em có thể tham khảo thêm chi tiết các cách giải phương trình mũ và logarit để giải bài tập.
>> Xem thêm: Nắm trọn kiến thức phương trình mũ và logarit
Kiến thức Toán 12 - Bài 6: Bất phương trình mũ - Bất phương trình logarit
1. Bất phương trình mũ
Dạng 1: Giải bất phương trình mũ toán 12 bằng phương pháp đưa về cùng cơ số:
Dạng 2: Phương pháp logarit hóa
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ giải toán lớp 12
Trường hợp 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
Trường hợp 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó ta xử lý phương trình bằng cách đưa về bất phương trình tích, xem ẩn ban đầu như là 1 tham số.
Trường hợp 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo cách đưa về bất phương trình tích và xem 1 ẩn là tham số.
>> Xem thêm:
- 3 cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm
- 3 phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ siêu nhanh
- Bí kíp giải bất phương trình mũ khác cơ số siêu nhanh
2. Bất phương trình logarit
Có 3 cách giải bất phương trình logarit, cụ thể:
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số giải bất phương trình logarit khác cơ số
Dạng 2: Phương pháp mũ hóa
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Trường hợp 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
Trường hợp 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó ta xem ẩn ban đầu là tham số và giải bất phương trình logarit chứa tham số.
Trường hợp 3: Đặt nhiều ẩn.
>> Xem thêm: Các cách giải bất phương trình mũ và logarit cực dễ hiểu
Trên đây là tổng hợp toàn bộ kiến thức toán 12 trong chương trình học. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là các sĩ tử trang bị đầy đủ công thức toán 12 để ôn thi thật tốt. Truy cập vuihoc.vn và đăng ký các lớp ôn thi cấp tốc dành cho học sinh lớp 11 và 12 để mở rộng cánh cửa tri thức nhé!
>> Xem thêm:
- Tổng hợp kiến thức Soạn văn 12
- 8 Cách học toán 12 cho người mất gốc
- Giải Bài Tập Ôn Tập Chương 3 Giải Tích Toán 12
- Các Bài Tập Trắc Nghiệm Toán 12 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết
